大家都知道，长方形的面积等于长乘宽，用字母可以表示为S＝ab。笔者在听课中发现，有些老师在引导学生得出这个长方形面积公式之后，提醒学生说：“要求出一个长方形的面积，那么就必须知道它的长和宽。”这样的表达其实是错误的。如果我们能弄清四种命题的关系以及充分条件、必要条件和充要条件的含义，就能找到错误的原因。
从结构上分析，每个几何命题都由两部分组成，即条件部分与结论部分，它表明条件与结论之间的某种因果关系，形式上可以表达为“如果……（条件）那么……（结论）”。用A表示条件，B表示结论，就可以写成：
如果有A，那么有B;或A?圯B。
用“如果……（条件）那么……（结论）”这种形式，对长方形的长和宽与面积之间的关系进行表达，可以有以下一些表达方式：
（1）如果已知一个长方形的长和宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积；
（2）如果已知一个长方形的面积，那么就可以求出（或确定）这个长方形的长和宽；
（3）如果不知道一个长方形的长和宽，那么就不能求出（或确定）这个长方形的面积；
（4）如果不知道长方形的面积，那么就不能求出（或确定）这个长方形的长和宽。
在上面的这些命题中，有肯定语气的命题和否定语气的命题。一个肯定语气的命题，以否定语气叙述时就得到了另一个命题；再把这两个命题的条件和结论交换位置又可以得到两个不同的命题。所以命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题和逆否命题。上面列举的四个命题（1）～（4）依次可称为原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
如果不管命题的具体内容，只从它的结构形式来研究，上述四种命题可以简单表述为：
原命题：如果有A，那么有B；或A?圯B。
逆命题：如果有B，那么有A；或B?圯A。
否命题：如果没有A，那么没有B；或A?圯B。
逆否命题：如果没有B，那么没有A；或B?圯A。
这四种命题之间存在着下面的关系：
……
由上面的例子可知：成互逆或互否关系的两个命题，不一定同真同假；但互为逆否关系的两个命题，真则同真、假则同假。这种真则同真、假则同假的两个命题叫做等价命题。因此，原命题与它的逆否命题是等价的，原命题的逆命题与否命题也是等价的。利用命题的这种等价关系，要证明一个数学命题时，可以用证明和它等价的命题来代替，这样，数学命题的证明就多了一条思路。
弄清了四种命题及它们的关系后，我们可以进一步研究充分条件、必要条件和充要条件。
一个命题表示条件与结论之间的某种关系。某一事物的发生与存在，会促使另一个事物的发生与存在，或某一事物的不发生与不存在，也会促使另一事物的不发生或不存在。事物之间的这种关系，叫做条件关系。其中有充分条件、必要条件和充要条件等关系。
如果A成立，那么B成立，即A?圯B，这时我们说条件A是B成立的充分条件。“充分”的含义是：为使B成立，具备条件A就足够了。用日常语言表达充分条件的含义就是“有之必然”。例如：
命题：如果知道一个长方形的长和宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积。
这个命题的条件和结论分别是：
条件：知道一个长方形的长和宽；
结论：可以求出（或确定）这个长方形的面积。
显然，上面的条件是结论成立的充分条件。
如果A不成立，那么B也不成立，这时条件A是B的必要条件，即：A?圯B。必要条件的特征是“无之必不然”。由命题之间的等价关系可知，命题A?圯B与命题B?圯A等价。也就是说，我们要判断条件A是不是结论B成立的必要条件时，只要把B作为条件，A变为结论，判断条件B是不是结论A成立的充分条件即可。
综上所述，我们可以得出：如果A?圯B，那么A是B成立的充分条件。如果B?圯A，那么A是B成立的必要条件。
如果既有A?圯B又有B?圯A，那么A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件。这时，我们就说A是B成立的充分而且必要条件，简称充要条件。充要条件的特征是“有之必然，无之必不然”。
有了上面的这些逻辑知识，我们就可以判断本文开头时一些老师在课堂上说的命题是否正确。“要求出一个长方形的面积，那么就必须知道它的长和宽。”显然，知道长方形的长和宽并不是求出长方形面积的必要条件。也就是说，要求出一个长方形的面积，不是必须要知道它的长和宽。如我们要求出长方形M的面积，而知道长方形N的面积是10平方米，长方形M的面积是长方形N的2倍，显然我们就可以求出长方形M的面积是20平方米。而如果知道一个长方形的长和宽，当然就可以求出这个长方形的面积。就是说条件“知道长方形的长和宽”是结论“求出长方形面积”的充分条件，但并非必要条件。
笔者在听课中也曾发现，一个老师在梯形的面积计算公式S＝（a+b）×h÷2的教学中，也说成：“要求出梯形的面积就必须知道它的上底、下底和高。”在这个老师上完课后，笔者对他所教班级的学生进行测查与访谈，用了以下三个题目：
1．已知一个梯形的上底是6米，下底是9米，高是4米，求这个梯形的面积。
2．已知一个梯形的上底与下底的和是15米，高是4米，求这个梯形的面积。
3．有一个梯形的菜园（如图），一面靠墙，其余三面用篱笆围成。篱笆总长是19米，求这个菜园的面积。
……
全班正好50个人，测查结果是第1题49人对，1人错（这个学生在运用梯形面积计算公式时，忘记除以2），这样全班的正确率是98%；第2题做对的学生是9人，正确率是18%；第3题只有2人做对，正确率是4%。我们对做对第1题但不会做第2题的学生进行访谈，学生的回答基本上都是：“只知道上底与下底的和，不知道上底与下底分别是多少，因此，不能用公式求出这个梯形的面积。”对做对第2题的9个学生进行访谈，其中有4个学生说了这样的意思：“我开始也不知道怎么做，不能求出上底与下底到底是多少，但我再看数据与公式，发现知道上底与下底的和，也可以直接用公式。做完以后，我发现知道上底与下底的和更好，不需要再做加法。”其余的5个学生能够根据公式的特点，直接求出面积。从上面的数据和访谈中可以看出，学生还是受到了“要求出梯形的面积，就必须知道它的上底、下底和高”这样的命题的影响。
一个命题的条件对于结论来说是充分条件、必要条件还是充要条件这个问题，不但在空间与图形知识的教学中会遇到，在其他领域中，如数与代数的教学中也有这样的问题。
例如，我们常常让学生用交换加数位置的方法，也就是运用加法交换律来进行验算。如计算5437＋1738，即用下面的格式：
……
这时教师常说：如果两次计算的结果相等，那么计算就正确。其实这个命题是一个假命题，也就是说老师这样的说法是错误的。
事实上，根据加法交换律可以得出：如果两次计算都正确，那么两次计算的结果相等。这个命题是正确的，但它的逆命题不正确。即我们不能由“如果两次计算的结果相等”，来推出“两次计算都正确”。我们设想如果一个学生总是忘记进位，即遇到进位时他总是不进，这样他的计算如下：
……
显然两次计算的结果也相等，但结果都是不正确的。由此可见，条件“两次计算的结果相等”是结论“计算正确”的必要条件，但并不是充分条件。这种验算方法并不是一种“可靠”的方法。
在小学数学中，有一些命题的条件对于结论来说是充分而不必要的，也有一些命题的条件对于结论来说是必要而不充分的。如，“一个三角形的两边相等”是“这个三角形是等边三角形”的必要但不充分条件。还有一些命题的条件对于结论来说是充要条件。如，“一个自然数各个数位上数的和是3的倍数”是“这个数是3的倍数”的充要条件。小学数学教师只有明确条件与结论间的各种关系，才能更好地实施数学教学。
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