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小学数学枚举法解析:分类枚举知识点讲解

11-15 21:38:09  浏览次数:584次  栏目:三年级数学辅导
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  小芳为了给灾区儿童捐款,把储蓄罐里的钱全拿了出来。她想数数有多少钱。小朋友,你知道小芳是怎么数的吗?小芳是个聪明的孩子,她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。所以很快就数好了。
  
  小芳数钱,用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的数学思考方法,在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起来看看它的本领吧!

  经典试题

  例[1] 下图中有多少个三角形?

  分析 我们可以根据图形特征将它分成3类:

  第一类:

有6个;


  第2类:       

有6个;

  第3类:       

有3个;

  解 6+6+3=15(个)图中有15个三角形。

  例[2]下图中有多少个正方形?

  分析 根据正方形边长的大小,我们将它们分成4类。
  第1类:由1个小正方形组成的正方形有24个;
  第2类:由4个小正方形组成的正方形有13个;
  第3类:由9个小正方形组成的正方形有 4个;
  第4类:由16个小正方形组成的正方形有1个。

  解 24+13+4+1=42。图中有42个正方形。

  例[3] 在算盘上,用两粒珠子可以表示几个不同的三位数:分别是哪几个数?

  分析 根据两粒珠子的位置,我们可将它们分成3类:
  第1类:两粒珠子都在上档,可以组成505,550;
  第2类:两粒珠子都在下档,可以组成101,110,200;
  第3类:一粒在上档,另一粒在下档,可以组成510,501,150,105,600。

  解 可以表示101,105,110,150,200,501,505,510,550,600共10个三位数。

  例[4] 用数字7,8,9可以组成多少个不同的三位数?分别是哪几个数?

  分析 根据百位上数字的不同,我们可以将它们分成三类:
  第1类:百位上的数字为7,有789,798;
  第2类:百位上的数字为8,有879,897;
  第3类:百位上的数字为9,有978,987。

  解 可以组成789,798,879,897,978,987共6个三位数。

  例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问:铁路部门要为这趟车准备多少种车票?


  分析 我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类(注:为了方便,我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪):
  在第一大类中,我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成4类。
  第1类:从宁出发:宁 常,宁 锡,宁 苏,宁 沪,4种;
  第2类:从常出发:常 锡,常 苏,常 沪,3种;
  第3类:从锡出发:锡 苏,锡 沪,2种;
  第4类:从苏出发:苏 沪,1种。
  我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类,聪明的小朋友可能已经想到了,它的种数与第一大类完全相同。

  解 (4+3+2=1)×2=20(种)铁路部门要准备20种车票。

  小结 分类枚举的关键是正确分类,为此,必须注意两点:

  一、分类要全、枚举要清。分类不全,就会造成遗漏。如上面例1中,如果一不小心,把第3类丢了,就会造成差错。当分类确定之后,要把每一类中每一个符合条件的对象都列举出来。

  二、分类要清。因为如果分不清,使第1类中有第2类,第2类中有第3类,互相包含,那么就会有重复。这样结果也就很难正确了。


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